ಮಂಜುನಾಥ ಎಂ ಆರ್

 ನಾನು ಅವನಿಗೆ  'ಸೊಳೆಮಗನೆ' ಅಂತ ಬೈದುದ್ದರಿಂದ ಬೇಜಾರ್ ಆಗಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಅರ್ಥ ತಿಳಿಯದೆ ನುಡಿದಿದ್ದು, ಅವನಿಗೆ ಅದರ ಅರ್ಥ ತಿಳಿದಿದ್ದು ಹಾಗೂ ಅದೊಂದು ದೊಡ್ಡವರ ಪದವಾಗಿದ್ದು ಸಹ ಅದನ್ನು ನಾನು ಉಚ್ಚರಿಸಿದು ಅಪರಾಧ ಪರಮಾವಧಿಯಾಗಿ ಅವನಿಗೆ ಕಂಡುಬಂದ್ದಿತ್ತು. ಸಿದ್ದರಾಮೇಶ, ಮೂರನೇ ತರಗತಿಯ, ವಿದ್ಯಾಭಾರತಿ ಶಾಲೆಯ ವ್ಯಾಸಂಗದಲ್ಲಿ ನನ್ನೊಡನೆ ಸಹಪಾಠಿಯಾಗಿ ಸೇರಿದನು. ಅವನು ಮೂರನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಬಂದು ಸೇರಿದ್ದ. ನಾನು ಮೊದಲಿಂದಲೂ ಅಲ್ಲೇ ಇದ್ದವನು. ಸಿದ್ದರಾಮೇಶ  ಬಂದು ಸೇರಿದ ಸ್ವಲ್ಪ ದಿನದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಸ್ನೇಹಿತನಾದ. ಏಕಾಏಕಿ ನನ್ನ ಅಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ಗೆಳೆಯ ಶಿವಕುಮಾರ ನಿಗಿಂತಲು ಸಿದ್ದರಾಮೇಶ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಾಡು ಆಗಿದ್ದ. ಕಾರಣ ಶಿವಕುಮಾರ ನನ್ನಂತೆ ಒಬ್ಬ. ಸಿದ್ದರಾಮೇಶ ಮರವಂಜಿಗೂ ಚನ್ನಗಿರಿಗು ಬಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣ ಮಾಡುತ್ತಾ ವಿದ್ಯಾಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವನಿಗೆ ಅಗಾಧವಾದ ಬಸ್ಸಿನ ಜ್ಞಾನ, ಎಂದರೆ ಚನ್ನಗಿರಿಯ ಅಂದಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಬಸ್ಸುಗಳ ಹೆಸರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕಿಮ್ಮತ್ತು ಜನರ ಬಳಿ ಎಷ್ಟಿತ್ತೆಂದು ಅವನಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ನಾನಂತೂ ಚನ್ನಗಿರಿ ಬಿಟ್ಟು ಆಕಡೆ ಈಕಡೆ ಅಂತ ಏನಾದರೂ ತಿರುಗಾಡಿದರೆ ಅದು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಊರು ಮುದಿಗೆರೆಗೆ. ಅದು ಚನ್ನಗಿರಿಯಿಂದ ಹತ್ತು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅಷ್ಟೆ. ಹಾಗೂ ಅದಕ್ಕೆ ತಲುಪಲು ಆಟೋ ಅಷ್ಟೇ ಗತಿ. ಒಂದು ಬಸ್ಸು ಇತ್ತು, ಮಹಾರುದ್ರಸ್ವಾಮಿ ಬಸ್ಸು. ಅದು ಮಾವಿನ...

Function: Center: Order: X Min: X Max: $$\textbf{Proof by Contradiction:}$$ Assume, for contradiction, that $\sqrt{2}$ is rational. Then there exist coprime integers \( p \) and $q$ (with $q \neq 0$) such that $$\sqrt{2} = \frac{p}{q}.$$ \[\sqrt{2} = \frac{p}{q}.\] Squaring both sides gives: $$ 2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Longrightarrow \quad 2\,q^2 = p^2. $$ Since $p^2$ is a perfect square, every prime factor of $p^2$ appears with an even exponent. However, because 2 is square-free and not a perfect square, at least one prime factor of 2 appears only once. This mismatch in the exponents (odd versus even) leads to a contradiction. Therefore, the assumption that $\sqrt{2}$ is rational must be false. Hence, $\sqrt{2}$ is irrational. $$ \textbf{Proof by Contradiction:} $$ Assume, for contradiction, that $\sqrt{2}$ is rational. Then there exist coprime integers $p$ and $q$ (with $q \neq 0$) such that $$ \sqrt{2} = \frac{p}{q}. $$ Squ...