ಮಂಜುನಾಥ ಎಂ ಆರ್ ( Manjunatha M R )

  ಈ ಒಲುಮೆಯ ಸಂಜೆಯಲಿ ನನದೊಂದು ಬೇಡಿಕೆ, ನನ್ನೊಲುಮೆಯ ಚೆಲುವೆ ನೀಡೊಂದು ಸಿಹಿಮುತ್ತ ಕಾಣಿಕೆ. ~ಮಂಜುನಾಥ ಎಂ ಆರ್ (೧೦/೦೧/೨೦೨೨)

  ನನ್ನವಳು ಅವಳು! ಯಾರವಳು? ಹುಡುಕಿದರೆಲ್ಲಿಯೂ ಸಿಗದವಳು, ಶೋಧಿಸಿದರಲಾರಲ್ಲಿಯೂ  ಕಾಣದವಳು, ಊಹೆಯ ಲಲ್ಲದೆಲ್ಲಿಯೂ  ನಿಲುಕದವಳು, ನನ್ನವಳು ಅವಳು! ಇಂದಿಗೂ ಗೋಚರಿಸದವಳು. ~ಮಂಜುನಾಥ ಎಂ ಆರ್ 

Solution to Question 1: In Question 1 , I asked whether it is possible to build a Taylor series expansion of $$ f(z) = \sqrt{(\pi + e z) + i(\pi - e z)} $$ around the point \( z_0 = 1 + i \), and if so, how far it converges. The function involves a square root, which is multi-valued, so its analyticity depends on the branch chosen. We shall consider the principal branch of the square root, which places a branch cut along the set of complex numbers where the argument of the root lies on the non-positive real axis. Let \( z = x + i y \). Then, $$ (\pi + e z) + i(\pi - e z) = (\pi + e x + e y) + i(\pi - e x + e y), $$ which we rewrite as \( A + i B \), where $$ A = \pi + e x + e y, \quad B = \pi - e x + e y. $$ The branch cut occurs where \( B = 0 \) and \( A \leq 0 \). Solving, $$ \pi - e x + e y = 0 \Rightarrow y = x - \frac{\pi}{e}, $$ and substituting into \( A \leq 0 \) gives: $$ \pi + e x + e\left(x - \frac{\pi}{e}\right) = 2 e x \leq 0 \Rightarrow x \leq 0. $$ So the branch...

Question 1: I want to build a Taylor series expansion of \(f(z) = \sqrt{\, (\pi + e z) + i(\pi - e z) \,} \) around \(z_0=1 + i\). Is that even possible? And if it is, how far does it go? (What would the radius of convergence be ?) Are you really asking me to find the \(n^{th}\) derivative value at \(1 + i\)? Oh, my Cauchy!   Is there something easy and fundamental at play? One who wants to send a solution can write it to me through email at manjuoffi@gmail.com

 ನಾನು ಅವನಿಗೆ  'ಸೊಳೆಮಗನೆ' ಅಂತ ಬೈದುದ್ದರಿಂದ ಬೇಜಾರ್ ಆಗಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಅರ್ಥ ತಿಳಿಯದೆ ನುಡಿದಿದ್ದು, ಅವನಿಗೆ ಅದರ ಅರ್ಥ ತಿಳಿದಿದ್ದು ಹಾಗೂ ಅದೊಂದು ದೊಡ್ಡವರ ಪದವಾಗಿದ್ದು ಸಹ ಅದನ್ನು ನಾನು ಉಚ್ಚರಿಸಿದು ಅಪರಾಧ ಪರಮಾವಧಿಯಾಗಿ ಅವನಿಗೆ ಕಂಡುಬಂದ್ದಿತ್ತು. ಸಿದ್ದರಾಮೇಶ, ಮೂರನೇ ತರಗತಿಯ, ವಿದ್ಯಾಭಾರತಿ ಶಾಲೆಯ ವ್ಯಾಸಂಗದಲ್ಲಿ ನನ್ನೊಡನೆ ಸಹಪಾಠಿಯಾಗಿ ಸೇರಿದನು. ಅವನು ಮೂರನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಬಂದು ಸೇರಿದ್ದ. ನಾನು ಮೊದಲಿಂದಲೂ ಅಲ್ಲೇ ಇದ್ದವನು. ಸಿದ್ದರಾಮೇಶ  ಬಂದು ಸೇರಿದ ಸ್ವಲ್ಪ ದಿನದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಸ್ನೇಹಿತನಾದ. ಏಕಾಏಕಿ ನನ್ನ ಅಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ಗೆಳೆಯ ಶಿವಕುಮಾರ ನಿಗಿಂತಲು ಸಿದ್ದರಾಮೇಶ ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಾಡು ಆಗಿದ್ದ. ಕಾರಣ ಶಿವಕುಮಾರ ನನ್ನಂತೆ ಒಬ್ಬ. ಸಿದ್ದರಾಮೇಶ ಮರವಂಜಿಗೂ ಚನ್ನಗಿರಿಗು ಬಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣ ಮಾಡುತ್ತಾ ವಿದ್ಯಾಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವನಿಗೆ ಅಗಾಧವಾದ ಬಸ್ಸಿನ ಜ್ಞಾನ, ಎಂದರೆ ಚನ್ನಗಿರಿಯ ಅಂದಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಬಸ್ಸುಗಳ ಹೆಸರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕಿಮ್ಮತ್ತು ಜನರ ಬಳಿ ಎಷ್ಟಿತ್ತೆಂದು ಅವನಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ನಾನಂತೂ ಚನ್ನಗಿರಿ ಬಿಟ್ಟು ಆಕಡೆ ಈಕಡೆ ಅಂತ ಏನಾದರೂ ತಿರುಗಾಡಿದರೆ ಅದು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಊರು ಮುದಿಗೆರೆಗೆ. ಅದು ಚನ್ನಗಿರಿಯಿಂದ ಹತ್ತು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಅಷ್ಟೆ. ಹಾಗೂ ಅದಕ್ಕೆ ತಲುಪಲು ಆಟೋ ಅಷ್ಟೇ ಗತಿ. ಒಂದು ಬಸ್ಸು ಇತ್ತು, ಮಹಾರುದ್ರಸ್ವಾಮಿ ಬಸ್ಸು. ಅದು ಮಾವಿನ...

ನಾನು ಗಮನಿಸಿದಂತೆ G.H ಹಾರ್ಡಿಯವರ "A Mathematician's Apology" ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅಥವಾ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಮಾತ್ರಕ್ಕೆ ನಾನು ಹಾರ್ಡಿಯನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ, ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ತಿರಸ್ಕಾರವಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಈ ಜೀವನದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ವರ್ತನೆಗಳು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದು. ಇಂದು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಹಾರ್ಡಿ ಅವರ ಮಾತುಗಳು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಭಾರವಾದವು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ - ಅದು ಮಾತ್ರ, ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ. Photo Credits: Google Books 1. [1, pp 64-65]     The public does not need to be convinced that there is something in mathematics.  ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಹಣದ  ಹಂಗಿನ ಮತ್ತು ಇತರೆ ನೆರವಿನ ತಾಪತ್ರಯ ಹೆಚ್ಚು ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಗೀತಕಿಂತ್ತಲೂ  ತಮ್ಮ ಪಾಡಿಗೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗಣಿತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞಾನಿಗೆ  ತಿಳಿದಂತೆ ಬೇಕಾದಂತೆ ವೃದ್ಧಿ ಮಾಡಿ ಕೊಳ್ಳುವಂತ ದಾರಿ ಹಿಡಿದಿದೆ. ನಮ್ಮ ಪುಣ್ಯಕ್ಕೆ  ಗಣಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಗಿಂದಾಗಲೇ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಸಮಾಜಕ್ಕೆ ಉಪಯೋಗಕ್ಕೂ ಬಂದಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಹಾರ್ಡಿಯಂತ ದೊಡ್ಡವರಾಡಿದ ಮಾತಿಗೆ ಸಿಟ್ಟಾಗಿ, ಗಣ...